Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+

2

=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P（4，0），M，N是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PN交椭圆C于另一点E，求直线PN的斜率的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，证明直线ME与x轴相交于定点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知e=

c

a

=

3

2

，所以a²=4b²，由此可知椭圆C的方程为C：

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x-4）．由题设得（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0．由此入手可知直线PN的斜率的取值范围是：(-

3

6

，0)∪(0，

3

6

)．
（Ⅲ）设点N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）．直线ME的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

．由此入手可知直线ME与x轴相交于定点（1，0）．

解答：解：（Ⅰ）由题意知e=

c

a

=

3

2

，
所以e2=

c2

a2

=

a2-b2

a2

=

3

4

，即a²=4b²，∴a=2b
又因为b=

2

1+1

=1，∴a=2，故椭圆C的方程为C：

x2

4

+y2=1．（4分）
（Ⅱ）由题意知直线PN的斜率存在，设直线PN的方程为y=k（x-4）．
由

y=k(x-4) x2 4 +y2=1.

得（4k²+1）x²-32k²x+64k²-4=0．①（6分）
由△=（-32k²）²-4（4k²+1）（64k²-4）＞0，得12k²-1＜0，∴-

3

6

＜k＜

3

6

（8分）
又k=0不合题意，所以直线PN的斜率的取值范围是：(-

3

6

，0)∪(0，

3

6

)．（9分）
（Ⅲ）设点N（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则M（x₁，-y₁）．
直线ME的方程为y-y2=

y2+y1

x2-x1

(x-x2)．令y=0，得x=x2-

y2(x2-x1)

y2+y1

．（11分）
将y₁=k（x₁-4），y₂=k（x₂-4）代入整理，得x=

2x1x2-4(x1+x2)

x1+x2-8

．②
由①得x1+x2=

32k2

4k2+1

，x1x2=

64k2-4

4k2+1

代入②整理，得x=1．（13分）
所以直线ME与x轴相交于定点（1，0）．（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．