Question

如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，O为原点，点M是椭圆右准线上的动点，以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆交于P、Q两点，直线PQ与椭圆相交于A、B两点，则|AB|的取值范围是

[

2b2

a

，2a)

．

Answer 1

分析：确定以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的方程，利用图形的对称性，可知当M在x轴上时，|AB|最小，当M在无穷远时，|AB|最大，由此可求得结论．

解答：解：设M（

a2

c

，m），则以OM为直径的圆的圆心为(

a2

2c

，

m

2

)，半径为|OM|=

( a2 2c )2+( m 2 )2

．
所以圆的方程为(x-

a2

2c

)2+(y-

m

2

)2=

a4

4c2

+

m2

4

①
以椭圆长轴为直径的圆的方程为x²+y²=a²②
根据图形可知，当M在x轴上时，|AB|最小，此时方程①为(x-

a2

2c

)2+y2=

a4

4c2

③
②-③可得：x=c，代入椭圆方程，可得

c2

a2

+

y2

b2

=1，∴y=±

b2

a

，∴|AB|=

2b2

a

．
当M在无穷远时，|AB|最大，以OM为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆交于长轴的端点，∴|AB|→2a
∴|AB|的取值范围是[

2b2

a

，2a)．
故答案为[

2b2

a

，2a)．

点评：本题考查圆的方程，考查圆与椭圆的综合，考查了数形结合的解题思想与极限思想，解题的关键是确定圆的方程，属于中档题．