Question

已知函数y=Asin（ωx+φ）+b（A＞0，|φ|＜π，b为常数）的一段图象（如图）所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求这个函数的单调区间．

Answer 1

分析：（1）图象中给出了半个周期的完整图象，故可得

T

2

=

π

2

-(-

π

3

)=

5π

6

．解出周期T，由公式求ω，又最高点与最低点的纵坐标的差为3，可得|A|=

3

2

进而求出A，b，到此函数解析式可以表示为y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

，将点(

π

2

，0)代入y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

求φ
（2）根据正弦函数的单调性，令相位属于[2kπ-

π

2

， 2kπ+

π

2

]，k∈z求函数的增区间，令相位属于[2kπ+

π

2

， 2kπ+

3π

2

]，k∈z求函数的减区间．

解答：解：（1）由已知，如图
A=

1

2

(ymax-ymin)=

3

2

，

T

2

=

π

ω

=

π

2

-(-

π

3

)=

5π

6

，ω=

6

5

．易知b=

3

2

∴y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

，
将点(

π

2

，0)代入y=

3

2

sin(

6

5

x+φ)+

3

2

得sin(

3π

5

+φ)=-1
即

3π

5

+φ=2kπ-

π

2

，k∈z解得φ=2kπ-

11π

10

(k∈Z)
又|φ|＜π，当k=1时，φ=

9π

10

＜π
∴y=

3

2

sin(

6

5

x+

9π

10

)+

3

2

．
（2）令2kπ-

π

2

≤

6

5

x+

9π

10

≤2kπ+

π

2

得

5kπ

3

-

7π

6

≤x≤

5kπ

3

-

π

3

令2kπ+

π

2

≤

6

5

x+

9π

10

≤2kπ+

3π

2

得

5kπ

3

-

π

3

≤x≤

5kπ

3

+

π

2

．(k∈Z)
∴[

5kπ

3

-

7π

6

，

5kπ

3

-

π

3

](k∈Z)是单调递增区间，
  [

5kπ

3

-

π

3

，

5kπ

3

+

π

2

](k∈Z)．是单调递减区间．

点评：本题考点是三角函数的图象与性质，考查知道了三角函数图象上的特征求三角函数的解析式，以及根据三角函数的解析式求三角函数的单调区间，是三角函数的图象与性质中常规题型．