Question

（2012•通州区一模）已知函数f（x）=lnx-x²．
（I）求函数f（x）的单调递增区间；
（II）求函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导函数，令f′（x）＞0，可得函数f（x）的单调递增区；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在（0，

2

2

）为增函数，同理可得函数f（x）在（

2

2

，+∞）为减函数，进而分类讨论，确定函数f（x）在（0，a]（a＞0）上的单调性，从而可求函数f（x）最大值．

解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=lnx-x²，x＞0，所以f′(x)=

1

x

-2x=

1-2x2

x

令f′（x）＞0，所以0＜x＜

2

2

所以函数f（x）的单调递增区间是（0，

2

2

）．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知函数在（0，

2

2

）为增函数，
同理可得函数f（x）在（

2

2

，+∞）为减函数．…（6分）
所以当0＜a＜

2

2

时，函数f（x）在（0，a）上单调递增，
所以函数f（x）的最大值为f（a）=lna-a²；       …（9分）
当a≥

2

2

时，函数f（x）在（0，

2

2

）上单调递增，在（

2

2

，a）上单调递减，
所以函数f（x）最大值为f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

     …（12分）
综上所述，当0＜a＜

2

2

时，函数f（x）的最大值为f（a）=lna-a²； 当a≥

2

2

时，函数f（x）最大值为f(

2

2

)=ln

2

2

-

1

2

  …（13分）

点评：本题考查函数的单调性，考查函数的最值，正确求导，确定函数的单调性是关键．