练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    （2010•上海）在平面上，给定非零向量
    b
    ，对任意向量
    a
    ，定义
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    ．
    （1）若
    a
    =（2，3），
    b
    =（-1，3），求
    a′
    ；
    （2）若
    b
    =（2，1），证明：若位置向量
    a
    的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量
    a′
    的终点也在一条直线上；
    （3）已知存在单位向量
    b
    ，当位置向量
    a
    的终点在抛物线C：x2=y上时，位置向量
    a′
    终点总在抛物线C′：y2=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量
    b
    满足什么关系？
    分析：（1）根据题意，算出
    a
    •
    b
    =7，
    |b|
    2    =10，代入
    a′
    的表达式并化简整理，即可得到
    a′
    =（
    17
    5
    ，-
    6
    5
    ）；
    （2）设
    a
    =（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上，由题中
    a′
    的表达式解出
    a′
    =（x，y）满足的关系式，从而得到点
    （
    -3x-4y
    5
    ，
    -4x+3y
    5
    ）在直线Ax+By+C=0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，说明向量
    a′
    的终点也在一条直线上；
    （3））设
    a
    =（x，y），单位向量
    b
    =（cosθ，sinθ），解出
    a′
    关于x、y和θ的坐标形式，结合
    a
    的终点在抛物线x2=y上且
    a′
    终点在抛物线y2=x上，建立关于x、y和θ的方程，化简整理得到
    b
    =±（
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    ）．再由曲线C和C′关于直线l：y=x对称，算出l的方向向量
    d
    满足
    d
    •
    b
    =0，从而得到直线l与向量
    b
    垂直．
    解答：解：（1）∵
    a
    =（2，3），
    b
    =（-1，3），
    ∴
    a
    •
    b
    =7，
    |b|
    2    =10，可得
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =
    2×7
    10
    （-1，3）=（-
    7
    5
    ，
    21
    5
    ）
    因此
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =（2，3）-（-
    7
    5
    ，
    21
    5
    ）=（
    17
    5
    ，-
    6
    5
    ）；
    （2）设
    a
    =（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
    算出
    a
    •
    b
    =2x'+y'，
    |b|
    2    =5，
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =
    2(2x′+y′)
    5
    （2，1）=（
    8x′+4y′
    5
    ，
    4x′+2y′
    5
    ），
    ∴
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =（x'，y'）-（
    8x′+4y′
    5
    ，
    4x′+2y′
    5
    ）=（
    -3x′-4y′
    5
    ，
    -4x′+3y′
    5
    ）
    因此，若
    a′
    =（x，y），满足
    x=
    -3x′-4y′
    5
    y=
    -4x′+3y′
    5
    ，得到
    x′=
    -3x-4y
    5
    y′=
    -4x+3y
    5

    ∵点（
    -3x-4y
    5
    ，
    -4x+3y
    5
    ）在直线Ax+By+C=0上
    ∴A×
    -3x-4y
    5
    +B×
    -4x+3y
    5
    +C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
    由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
    即向量
    a′
    的终点也在一条直线上；
    （3）∵
    b
    是单位向量，
    ∴设
    a
    =（x，y），
    b
    =（cosθ，sinθ），可得
    a
    •
    b
    =xcosθ+ysinθ，
    所以
    a′
    =
    a
    -
    2(
    a
    •
    b
    )
    |
    b
    |2
    b
    =
    a
    -2（xcosθ+ysinθ）
    b
    =（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
    ∵
    a
    的终点在抛物线x2=y上，且
    a′
    终点在抛物线y2=x上，
    ∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）2，
    化简整理，通过比较系数可得cosθ=
    		2
    2
    ，sinθ=-
    		2
    2
    或cosθ=-
    		2
    2
    ，sinθ=
    		2
    2

    ∴
    b
    =±（
    		2
    2
    ，
    		2
    2
    ），
    ∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
    ∴l的方向向量
    d
    =（1，1）．
    可得
    d
    •
    b
    =0，即
    d
    ⊥
    b
    ，因此直线l与向量
    b
    垂直．
    点评：本题给出向量的关系式，求证当向量
    a
    终点在一条直线上时，向量
    a′
    的终点也在一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海）在（2x2+
    1x
    ）6的二项展开式中，常数项是
    60
    60
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•武昌区模拟）某单位选派甲、乙、丙三人组队参加“2010上海世博会知识竞赛”，甲、乙、丙三人在同时回答一道问题时，已知甲答对的概率是
    3
    4
    ，甲、丙两人都答错的概率是
    1
    12
    ，乙、丙两人都答对的概率是
    1
    4
    ，规定每队只要有一人答对此题则记该队答对此题．
    （Ⅰ）求该单位代表队答对此题的概率；
    （Ⅱ）此次竞赛规定每队都要回答10道必答题，每道题答对得20分，答错除该题不得分外还要倒扣去10分．若该单位代表队答对每道题的概率相等且回答任一道题的对错对回答其它题没有影响，求该单位代表队必答题得分的期望（精确到1分）．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，AH为BC边上的高，在以下结论中：
    ①
    AH
    •(
    AB
    +
    BC
    )=
    AH
    •
    AB
    ；
    ②
    AH
    •
    AC
    =
    AH
    2    ；
    ③
    AC
    •
    AH
    |
    AH
    |
    =c•sinB    ；
    ④
    BC
    •(
    AC
    -
    AB
    )=b2+c2-2bc•cosA    ．
    其中正确结论的序号是
    ③④
    ③④
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上海模拟）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，PF⊥平面ABCD，垂足F在AD上，且AF=
    1
    3
    FD，FB⊥FC，FB=FC=2，E是BC的中点，四面体P-BCF的体积为
    8
    3
    ．
    （1）求异面直线EF和PC所成的角；
    （2）求点D到平面PBF的距离．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案