Question

求过定点P（0，1）且与抛物线y²=2x只有一个公共点的直线方程．

Answer 1

分析：设直线l的斜率等于k，则当 k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行，所以此时直线与抛物线只有有关公共点．再讨论直线与抛物线相切的情况，注意要分斜率存在于斜率不存在两种情况讨论．

解答：解：①设直线l的斜率等于k，则当 k=0时，直线l的方程为 y=1，满足直线与抛物线y²=2x仅有一个公共点，
当k≠0时，直线l是抛物线的切线，设直线l的方程为 y=kx+1，
代入抛物线的方程可得：
k²x²+（2k-2）x+1=0，根据判别式等于0，求得 k=

1

2

，故切线方程为  y=

1

2

x+1．
②当斜率不存在时，直线方程为x=0，经过检验可得此时直线也与抛物线y²=2x相切．
故所求的直线方程为：y=1，或 x=0，或 x-2y+2=0．

点评：本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．解题中容易漏掉斜率不存在的讨论．