Question

12．解关于x的不等式：$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≤1（a＞0）．

Answer 1

分析 原不等式等价于$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（1-{a}^{2}）{x}^{2}-2ax≤0}\end{array}\right.$，分类讨论解不等式组可得．

解答 解：原不等式可化为$\sqrt{{x}^{2}+1}$≤1+ax，
等价于$\left\{\begin{array}{l}{1+ax≥1}\\{{x}^{2}+1≤（1+ax）^{2}}\end{array}\right.$，
化简可得$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{（1-{a}^{2}）{x}^{2}-2ax≤0}\end{array}\right.$，
当1-a²=0即a=1时，解不等式组可得{x|x≥0}；
当1-a²＞0即0＜a＜1时，解不等式组可得{x|0≤x≤$\frac{2a}{1-{a}^{2}}$}；
当1-a²＜0即a＞1时，解不等式组可得{x|x≥0}．

点评 本题考查无理不等式的解集，等价转化并分类讨论是解决问题的关键，属中档题．