Question

1．在△ABC中，c=2$\sqrt{2}$，a＞b，tanA+tanB=5，tanA•tanB=6，试求a，b及△ABC的面积．

Answer 1

分析 根据已知和两角和的正切公式可先求得C=45°，根据题意，tanA，tanB是方程x²-5x+6=0的两个根，且a＞b，可求得tanA=3，tanB=2，从而可求cosA，sinA，cosB，sinB的值，由正弦定理即可求a，b的值，从而求得及△ABC的面积．

解答 解：△ABC中，∵c=2$\sqrt{2}$，a＞b，tanA+tanB=5，tanA•tanB=6，
∴tan（A+B）=$\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}$=$\frac{5}{1-6}$=-1，∴A+B=$\frac{3π}{4}$，∴C=$\frac{π}{4}$．
根据题意，tanA，tanB是方程x²-5x+6=0的两个根，且a＞b，
∴A＞B，∴tanA=3，tanB=2，
由cos²A=$\frac{1}{1{+tan}^{2}A}$=$\frac{1}{10}$，可得cosA=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，∴sinA=$\sqrt{{1-cos}^{2}A}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．
同理求得sinB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
再由正弦定理可得$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{3\sqrt{10}}{10}}$=$\frac{b}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，
求得a=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，b=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
故△ABC的面积为 $\frac{1}{2}$ab•sinC=$\frac{1}{2}$×$\frac{6\sqrt{10}}{5}$×$\frac{8\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{24}{5}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，综合性较强，属于中档题