精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设{an}是各项均为正数的无穷项等差数列.(本题中必要时可使用公式:12+22+33+…+n2=
n(n+1)(2n+1)
6

(Ⅰ)记Sn=a1+a2+…+an,Tn=a12+a22+…+an2,已知Snn2+n-1,Tn
4n3-n
3
(n∈N*),试求此等差数列的首项a1及公差d;
(Ⅱ)若{an}的首项a1及公差d都是正整数,问在数列{an}中是否包含一个非常数列的无穷项等比数列{a′m}?若存在,请写出{a′m}的构造过程;若不存在,说明理由.
分析:(Ⅰ)因为{an}是各项均为正数的无穷项等差数列,所以前n项和为Sn=na1+
n(n-1)
2
d
,an=a1+(n-1)d,求出an2得到Tn上网通项公式,由Snn2+n-1,Tn
4n3-n
3
列出不等式组(1)和(2),求出解集讨论得到d,将d代入(1)和(2)得到(3)和(4)求出解集讨论得到a1即可;
(Ⅱ)先构造,因为{an}为a1,a1+d,a1+2d,…,取a1′=a1,a2′=a1+da1′=(1+d)a1,a3′=a1′+d(a1′+a2′)=a1′+da1+da2′=a2′+da2′=(1+d)a2′所以am′=a1′+d(a1′+a2′+…+am-1′)=am-1′+dam-1′=(1+d)am-1′=(1+d)m-1a1,故数列{an}是以a1为首项,1+d(大于1)为公比的非常数等比数列,证明存在am′=a1+dk,从而am′是a1,a1+d,a1+2d,…,中的项.
解答:解:(Ⅰ)依题意:Sn=na1+
n(n-1)
2
d
,an=a1+(n-1)d,所以an2=a12+2a1(n-1)d+(n-1)2d2Tn=na12+n(n-1)a1d+
1
6
(n-1)n(2n-1)d2

na1+
n(n-1)
2
d≤n2+n-1
n
a
2
1
+n(n-1)a1d+
1
6
(n-1)n(2n-1)d2
4n3-n
3

(2-d)n2+n(2-a1-d)-2≥0(1)
2(d2-4)n2+3d(2a1-d)n+6
a
2
1
-6a1d+d2+2≥0(2)
则n∈N*恒成立

所以
2-d≥0
d2-4≥0

因为数列为无穷项,所以d≥0,所以d=2,
代入(1)(2)得
(2-a)n-1≥0(3)
2(a1-1)n+(a1-1)2≥0(4)

当n=1代入(3),得2-a1-1≥0,所以a1≤1,
由(4),当a1<1时,对充分大的n,(4)不成立,所以,a1=1
经检验,a1=1,d=2满足题意;
(Ⅱ){an}为a1,a1+d,a1+2d,…,
取a1′=a1,a2′=a1+da1′=(1+d)a1,a3′=a1′+d(a1′+a2′)=a1′+da1+da2′=a2′+da2′=(1+d)a2
am′=a1′+d(a1′+a2′+…+am-1′)=am-1′+dam-1′=(1+d)am-1′=(1+d)m-1a1
故数列{an}是以a1为首项,1+d(大于1)为公比的非常数等比数列;
又由{an}的取法可知,a1′+a2′+…+am-1′是正整数之和,记做k.
所以,am′=a1+dk,从而am′是a1,a1+d,a1+2d,…,中的项,
所以,存在这样的非常数列的无穷项等比数列,它包含在{an}中.
点评:考查学生会利用数列的递推式解决实际问题,掌握等比、等差数列的通项公式及前n项和的公式,会进行数列的求和.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设{an}是各项均为正数的等比数列,前4项之和等于其前2项和的10倍,则该数列的公比为
3
3

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设{an} 是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为0,且各项之和等于2010,则该数列的第8项a8 的值等于
134
134

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设{an} 是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为0,且各项之和等于2010,则该数列的第8项a8 的值等于______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011年江苏省盐城中学高考数学一模试卷(解析版) 题型:填空题

设{an} 是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为0,且各项之和等于2010,则该数列的第8项a8 的值等于   

查看答案和解析>>

同步练习册答案