Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．点A，B的极坐标分别为（2，π），（2

2

，

π

4

），曲线C的参数方程为

x=cosα y=1+sinα

（α为参数）．
（Ⅰ）求△AOB的面积；
（Ⅱ）求直线AB被曲线C截得的弦长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：直线与圆,坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）计算△AOB的面积S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin∠AOB即可；
（Ⅱ）把点A，B的极坐标化为直角坐标，求直线AB的方程；把曲线C的参数方程化为普通方程，得直线AB过圆心P，从而得直线AB被曲线C截得的弦长为直径．

解答：解：（Ⅰ）△AOB的面积为
S_△AOB=

1

2

|OA|•|OB|•sin∠AOB
=

1

2

×2×2

2

×sin135°
=2；
（Ⅱ）∵点A，B的极坐标分别为（2，π），（2

2

，

π

4

），
在直角坐标系中A（-2，0），B（2，2），
∴直线AB的方程为x-2y+2=0；
∵曲线C的参数方程

x=cosα y=1+sinα

（α为参数）化为普通方程是x²+（y-1）²=1，
∴曲线是圆心为P（0，1），半径R为1的圆；
∵直线AB过圆心P（0，1），
∴直线AB被曲线C截得的弦长为2R=2．

点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应先把参数方程与极坐标方程化为普通方程，再解答问题，是综合题．