Question

已知点P（1+

10

cosa，

10

sina）（a∈[0，2π]），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点Q在曲线C：ρ=

1

2 sin(θ- π 4 )

上．
（Ⅰ）求点P的轨迹极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点P的轨迹与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）先写出点P的轨迹方程，再由

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入化简即得P的极坐标方程，运用两角差的正弦公式
化简曲线C，再由

x=ρcosθ y=ρsinθ

，即可得到曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）先求出点P的轨迹与曲线C交点的直角坐标，再将其化为极坐标，注意ρ≥0，0≤θ＜2π．

解答：解：（Ⅰ）∵

x=1+ 10 cosα y= 10 sinα

∴点P的轨迹方程为：（x-1）²+y²=10．
将

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入得ρ²-2ρcosθ-9=0．
∵ρ=

1

2 sin(θ- π 4 )

，
∴ρsinθ-ρcosθ=1，
∴曲线C的直角坐标方程为：x-y+1=0．
（Ⅱ）由

(x-1)2+y2=10 x-y+1=0

，解得

x=2 y=3

或

x=-2 y=-1

，
∴交点极坐标为（

13

，arccos

2 13

13

），（

5

，π+arccos

2 5

5

）．

点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程和普通方程的互化，考查基本的运算能力．