Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），(

2 3

3

，

π

2

)，圆C的参数方程为

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ为参数）．①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；②判断直线l与圆C的位置关系．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互化

专题：坐标系和参数方程

分析：①利用极坐标化为直角坐标的公式

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可得到点M，N的直角坐标，再利用中点坐标公式即可得到点P的坐标，进而得到直线l的方程．
②把圆C的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式可得圆心C到直线l的距离d，与半径r比较即可得出位置关系．

解答：解：①直线l上两点M，N的极坐标分别为（2，0），(

2 3

3

，

π

2

)，分别化为直角坐标：M（2，0），N(0，

2 3

3

)．
∴线段MN的中点P的坐标为(1，

3

3

)，∴kOP=

3

3

．∴直线OP的平面直角坐标方程为：y=

3

3

x．
②由圆C的参数方程为

x=2+2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ为参数）消去参数θ可得(x-2)2+(y+

3

)2=4，可得圆心C(2，-

3

)，半径r=2．
∴圆心C到直线l的距离d=

|2+3|

12+(- 3 )2

=

5

2

＞2=r．
因此直线l与圆C相离．

点评：本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、中点坐标公式、点斜式方程、参数方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系的判定等基础知识与基本技能方法，属于中档题．