Question

选修4-4：参数方程选讲
已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为(2

3

，

π

6

)，曲线C的极坐标方程为ρ2+2

3

ρsinθ=1．
（Ⅰ）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；
（Ⅱ）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线l：

x=3+2t y=-2+t

（t为参数）距离的最小值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出；
（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出，

解答：解 （1）∵P点的极坐标为(2

3

，

π

6

)，
∴xP=2

3

cos

π

6

=2

3

×

3

2

=3，yP=2

3

sin

π

6

=2

3

×

1

2

=

3

．
∴点P的直角坐标(3，

3

)
把ρ²=x²+y²，y=ρsinθ代入ρ2+2

3

ρsinθ=1可得x2+y2+2

3

y=1，即x2+(y+

3

)2=4
∴曲线C的直角坐标方程为x2+(y+

3

)2=4．
（2）曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=- 3 +2sinθ

（θ为参数），直线l的普通方程为x-2y-7=0
设Q(2cosθ，-

3

+2sinθ)，则线段PQ的中点M(

3

2

+cosθ，sinθ)．
那么点M到直线l的距离d=

| 3 2 +cosθ-2sinθ-7|

12+22

=

|cosθ-2sinθ- 11 2 |

5

=

5 sin(θ-φ)+ 11 2

5

.≥

- 5 + 11 2

5

=

11 5

10

-1，
∴点M到直线l的最小距离为

11 5

10

-1．

点评：本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．