Question

（2012•泰安二模）已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点(

2

2

，

3

2

)．
（I）求椭圆的方程；
（II）已知点C（m，0）是线段OF上一个动点（O为原点，F为椭圆的右焦点），是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|，并说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0）的离心率为

2

2

，且过点(

2

2

，

3

2

)，建立方程组，即可求得椭圆的方程；
（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-2）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，求出AB垂直平分线的方程，将C的坐标代入，即可求得结论．

解答：解：（I）由题意，

a2-b2 a2 = 1 2 1 2 a2 + 3 4 b2 =1

，∴

a2=2 b2=1

，∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（II）设过点F且与x轴不垂直的直线l的方程为：y=k（x-2）代入椭圆方程，消去y可得
（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，则△=16k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）=-16k²+8＞0，∴k²＜

1

2

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

1+2k2

，y₁+y₂=-

4k

1+2k2

∴AB的中点的坐标为（

4k2

1+2k2

，-

2k

1+2k2

）
∴AB的垂直平分线的方程为y+

2k

1+2k2

=-

1

k

（x-

4k2

1+2k2

）
将点C（m，0）代入可得0+

2k

1+2k2

=-

1

k

（m-

4k2

1+2k2

）
∴m=

2k2

1+2k2

∵0＜m＜2
∴0＜

2k2

1+2k2

＜2恒成立
∴存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，使|AC|=|BC|．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，求出AB的垂直平分线的方程是关键．