Question

一动圆与圆外切，与圆内切.
(I)求动圆圆心M的轨迹方程．(II)试探究圆心M的轨迹上是否存在点，使直线与的斜率？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）

Answer 1

(I) (II) 圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率.

 解：（1）设动圆圆心为，半径为．
由题意，得，，                        (1分)
, 由椭圆定义知在以为焦点的椭圆上，    (3分)
且，．                (5分)
动圆圆心M的轨迹方程为．         (6分)
(II) 由（I）知动圆圆心M的轨迹是椭圆，它的两个焦点坐标分别为和 (7分)                                        
设是椭圆上的点，由得     (9分)
即，这是实轴在轴，顶点是椭圆的两个焦点的双曲线，它与椭圆的交点即为点P。由于双曲线的两个顶点在椭圆内，根据椭圆和双曲线的对称性可知，它们必有四个交点.
即圆心M的轨迹上存在四个点，使直线与的斜率.    (12分)