Question

（2012•泉州模拟）已知等差数列{a_n}满足a₂=5，且a₆=3a₁+a₄．
（Ⅰ）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（Ⅱ）从集合{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取3个不同的元素，其中偶数的个数记为ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知可得a₁与d的方程，解方程可求得a₁与d，从而可求和
（Ⅱ）由（Ⅰ）及等差数列的通项可求a_n=a₁+（n-1）d，从而可求出{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}奇数与偶数的个数，可求ξ的分布列及期望

解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，由已知得

a1+d=5 a1+5d=4a1+3d

解得

a1=2 d=3

．…（2分）
故a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，Sn=

n(a1+an)

2

=

3

2

n2+

1

2

n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，
∴{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}={2，5，8，…，29}有5个奇数，5个偶数． （6分）
∴ξ有0，1，2，3共四个取值，故ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

…（10分）
则Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

．…（13分）

点评：本小题主要考查等差数列、概率统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查函数与方程思想、必然与或然思想．