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已知圆C:的半径等于椭圆E:(a>b>0)的短半轴长,椭圆E的右焦点F在圆C内,且到直线l:y=x-的距离为,点M是直线l与圆C的公共点,设直线l交椭圆E于不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2).

(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)求证:|AF|-|BF|=|BM|-|AM|.

(Ⅰ);(Ⅱ)先把表示出来,得,同理,从而命题得证.

解析试题分析:
(Ⅰ)先利用到直线的距离得,求出,再求出,从而得椭圆方程为;(Ⅱ)先利用为直角三角形,求出,又,可得,同理得,所以,同理可得,继而得到.
试题解析:(Ⅰ)设点,则到直线的距离为
,即,                 (2分)
因为在圆内,所以,故;                 (4分)
因为圆的半径等于椭圆的短半轴长,所以
椭圆方程为.                         (6分)
(Ⅱ)因为圆心到直线的距离为,所以直线与圆相切,是切点,故为直角三角形,所以
,可得,                    (7分)
,又,可得,        (9分)
所以,同理可得,            (11分)
所以,即.      (12分)
考点:直线与椭圆的位置关系的综合应用.

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