Question

已知函数f（x）=lnx+2f′（1）x+m（m∈R），f（x）的导数为f′（x），且f（x）的图象过点（1，-2）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设函数g(x)=f(x)+

a

x

+2x，若g（x）在[1，e]的最小值是2，求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，令x=1，再利用f（x）的图象过点（1，-2），代入，即可求得函数f（x）的解析式；
（2）求导数，确定导数的零点，再分类讨论，利用g（x）在[1，e]的最小值是2，即可求实数a的值．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=

1

x

+2f′（1）
∴f′（1）=1+2f′（1）
∴f′（1）=-1
∴f（x）=lnx-2x+m
∵f（x）的图象过点（1，-2）
∴-2=ln1-2+m
∴m=0
∴f（x）=lnx-2x；
（2）g(x)=f(x)+

a

x

+2x=lnx+

a

x

(x＞0)
∴g′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

=0，∴x=a
①当a≤1时，函数g（x）在[1，e]上为增函数
∴g_min（x）=g（1）=a=2，与a≤1矛盾，故舍去；
②当1＜a＜e时，函数g（x）在（1，a）上有g′（x）＜0，函数单调递减，在（a，e）上有g′（x）＞0，函数单调递增
∴g_min（x）=g（a）=lna+1=2，∴a=0这与1＜a＜e矛盾，故舍去；
③当a≥e时，g（x）在[1，e]上为减函数，
∴gmin(x)=g(e)=1+

a

e

=2，
∴a=e
综上所述，a=e．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的解析式，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．