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已知函数f(x)=lnx+2f′(1)x+m(m∈R),f(x)的导数为f′(x),且f(x)的图象过点(1,-2).
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=f(x)+
ax
+2x
,若g(x)在[1,e]的最小值是2,求实数a的值.
分析:(1)求导函数,令x=1,再利用f(x)的图象过点(1,-2),代入,即可求得函数f(x)的解析式;
(2)求导数,确定导数的零点,再分类讨论,利用g(x)在[1,e]的最小值是2,即可求实数a的值.
解答:解:(1)求导函数可得f′(x)=
1
x
+2f′(1)
∴f′(1)=1+2f′(1)
∴f′(1)=-1
∴f(x)=lnx-2x+m
∵f(x)的图象过点(1,-2)
∴-2=ln1-2+m
∴m=0
∴f(x)=lnx-2x;
(2)g(x)=f(x)+
a
x
+2x=lnx+
a
x
(x>0)

g′(x)=
1
x
-
a
x2
=
x-a
x2
=0
,∴x=a
①当a≤1时,函数g(x)在[1,e]上为增函数
∴gmin(x)=g(1)=a=2,与a≤1矛盾,故舍去;
②当1<a<e时,函数g(x)在(1,a)上有g′(x)<0,函数单调递减,在(a,e)上有g′(x)>0,函数单调递增
∴gmin(x)=g(a)=lna+1=2,∴a=0这与1<a<e矛盾,故舍去;
③当a≥e时,g(x)在[1,e]上为减函数,
gmin(x)=g(e)=1+
a
e
=2

∴a=e
综上所述,a=e.
点评:本题考查导数知识的运用,考查函数的解析式,考查函数的单调性与最值,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键.
练习册系列答案
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(1)求函数y=f(x)的最小值;
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x1+x2
2
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1
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3
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3
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x
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6
)上单调递减,在(
6
,+∞)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;
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