Question

已知双曲线

x2

4

-

y2

2

=1
（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A，B两点，若M 为AB的中点，求直线AB的方程．
（2）是否存在直线L，使N（1，

1

2

）为L被双曲线所截弦的中点，若存在，求出L的方程，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设过M（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，检验判别式即可；
（2）假设存在直线l，使N（1，

1

2

）为l被双曲线所截弦的中点，则设弦CD的C、D两点的坐标为（x₃，y₃），（x₄，y₄），代入双曲线方程，再相减，运用平方差公式和中点坐标公式，及斜率公式，即可得到所求直线的斜率，进而得到直线方程，检验判别式的符号即可判断．

解答： 解：（1）设过M（1，1）的直线方程为：y-1=k（x-1），
A，B两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
则x₁²-2y₁²=4，x₂²-2y₂²=4，
相减可得，（x₁-x₂）（x₁+x₂）=2（y₁-y₂）（y₁+y₂）
由M为AB的中点，则x₁+x₂=2，y₁+y₂=2，
则k=

y1-y2

x1-x2

=

1

2

，
即有直线AB的方程：y-1=

1

2

（x-1），即有y=

1

2

x+

1

2

，
代入双曲线方程x²-2y²=4，检验判别式大于0，成立，
则所求直线方程为：有y=

1

2

x+

1

2

；
（2）假设存在直线l，使N（1，

1

2

）为l被双曲线所截弦的中点．
则设弦CD的C、D两点的坐标为（x₃，y₃），（x₄，y₄），
则x₃²-2y₃²=4，x₄²-2y₄²=4，
相减可得，（x₃-x₄）（x₃+x₄）=2（y₃-y₄）（y₃+y₄）
由N为CD的中点，则x₃+x₄=2，y₃+y₄=1，
则k=

y3-y4

x3-x4

=1，
则直线CD的方程为：y-

1

2

=x-1，即y=x-

1

2

，
代入双曲线方程x²-2y²=4，可得，x²-2x+

9

4

=0，
由于判别式为4-9＜0，则该直线l不存在．

点评：本题考查双曲线的方程和运用，考查点差法求中点问题，注意检验判别式的符号，考查运算能力，属于中档题和易错题．