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  已知函数f(x)定义域为[0,1],且同时满足:

  ①对任意x∈[0,1],总有f(x)≥3.

  ②f(1)=4

  ③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3

(Ⅰ)试求f(0)的值;

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;

(Ⅲ)试证明:当x∈时,f(x)<3x+3;当x∈(n∈N*)时,f(x)<3x+3.(文科不做此问后半部分)

答案:
解析:

  (1)f(0+0)≥f(0)+f(0)-3,f(0)≤3,又f(0)≥3

  ∴f(0)=3

  (2)设0≤x1<x2≤1

  f(x2)=f(x2-x1+x1)≥f(x2-x1)+f(x1)-3,f(x2-x1)≥3

  ∴f(x2)≥f(x1)+3-3即f(x2)≥f(x1)

  ∴f(x)在[0,1]增函数

  ∴f(x)≤f(1)=4即f(x)的最大值为4.

  (3)∵f(x)在上是增函数.

  ∴当x∈时,f(x)≤f(1)=4.

  而在上,3x+3>3,+3=4

  ∴f(x)<3x+3.x∈

  用数学归纳法证明:当n∈N时,x∈时f(x)<3x+3

  ①n=0时已证.

  ②假设n=k时,当x∈,f(x)<3x+3

  则x∈时,则3x∈,f(3x)<9x+3

  又由已知f(3x)≥f(2x)+f(x)-3≥f(x)+f(x)-3+f(x)-3=3f(x)-6

  即3f(x)-6<9x+3

  ∴f(x)<3x+3即n=k+1时,命题亦成立.

  ∴n∈N时,命题成立,则n∈N*命题当然成立.


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已知函数f(x)=
sinπx
(x2+1)(x2-2x+2)
.关于下列命题正确的个数是(  )
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②函数f(x)既有最大值又有最小值;
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④对于任意x∈(-1,0),f′(x)<0(f′(x)是函数f(x)的导函数).
A、1个B、2个C、3个D、4个

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3x(x≥0)
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  (1)对于任意x∈[0,1],且同时满足;

  (2)f(1)=4;

  (3)若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,则有f(x1x2)≥f(x1)+f(x2)-3.

(Ⅰ)试求f(0)的值;

(Ⅱ)试求函数f(x)的最大值;

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求证:f(a1)+f(a2)+…+f(an)<log3

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.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

  已知函数f(x)=|x-a|-2|x-1|(a∈R).

(Ⅰ)当a=3时,求函数f(x)最大值;

(Ⅱ)解关于x的不等式f(x)≥0.

 

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