Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AB=AC=A₁B=2，顶点A₁在底面ABC上的射影恰好为点B．
（1）求三棱柱的表面积；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使AP=

14

，并求出二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）三棱柱的底面是直角三角形，两个侧面是平行四边形，一个矩形，可求三棱柱的表面积；
（2）分别求出平面P-AB-A₁的法向量和平面ABA₁的法向量，利用向量法能求出二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值．

解答： 解：（1）∵顶点A₁在底面ABC上的射影恰好为点B，
∴A₁B⊥平面ABC，
∴A₁B⊥AC，
∵AB⊥AC，
∴A₁B∩AB=B，
∴AC⊥平面A₁B，
∴AC⊥A₁A，
过A₁作A₁D⊥B₁C₁，垂足为D，连接BD，则BD⊥B₁C₁，
∵AB⊥AC，AB=AC=A₁B=2，
∴BD=

6

，BC=A₁A=2

2

，
∵三棱柱的底面是直角三角形，两个侧面是平行四边形，一个矩形，
∴三棱柱的表面积为2×

1

2

×2×2+2×2

2

+2×2+2

2

×

6

=8+4

2

+4

3

；
（2）以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），
设

B1P

=λ

B1C1

=（2λ，-2λ，0），则P（2λ，4-2λ，2），
∴

AP

=（2λ，4-2λ，2），
∴|

AP

|=

4λ2+(4-2λ)2+4

=

14

，
解得λ=0.5或λ=1.5（舍），
则P为棱B₁C₁的中点，其坐标为P（1，3，2），
设平面P-AB-A₁的法向量为

n1

=（x，y，z），
则

x+3y+2z=0 2y=0

，令z=1，得

n1

=（-2，0，1），
由题意知平面ABA₁的法向量为

n2

=（1，0，0），
设二面角P-AB-A₁的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

2 5

5

，
∴sinθ=

5

5

．
∴二面角P-AB-A₁的平面角的正弦值为

5

5

．

点评：此题重点考查了利用图形建立恰当的空间直角坐标系，利用向量的夹角求出二面角的大小．