Question

如图，在直三棱柱（侧棱和底面垂直的棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，D是BC的中点，F是CC₁上一点，且CF=2a．
（Ⅰ）求证：B₁F⊥平面ADF；
（Ⅱ）求二面角F-AD-C的正切值；
（Ⅲ）试在AA₁上找一点E，使得BE∥平面ADF，并说明理由．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）证明B₁F⊥平面ADF，只需证明B₁F⊥AF，AD⊥B₁F；
（Ⅱ）证明∠CDF为二面角F-AD-C的平面角，即可求出求二面角F-AD-C的正切值；
（Ⅲ）当AE=2a时，BE∥平面ADF，再进行证明即可．

解答： （I）证明：由ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱和CF=2a，AB=AC=AA₁=3a，BC=2a，得B1F=

B1C12+C1F2

=

5

a，AF=

AC2+CF2

=

13

a，
AB1=

AB2+BB12

=

18

a，得AB12=AF2+B1F2
所以B₁F⊥AF，…（2分）
由CC₁⊥面ABC，AD?面ABC，得CC₁⊥AD，
由AB=AC及D是BC的中点得：AD⊥BC，
而CC₁⊥AD，BC∩CC₁=C，
所以AD⊥面BCC₁B₁，
又BF₁?面BCC₁B₁，
所以AD⊥B₁F…（2分）
又B₁F⊥AF，AF∩AD=A，
所以B₁F⊥平面ADF；…（5分）
（Ⅱ）解：由（I）AD⊥面BCC₁B₁，而CD?面BCC₁B₁、DF?面BCC₁B₁，
所以AD⊥CD、AD⊥DF
所以∠CDF为二面角F-AD-C的平面角     …（8分）
由直三棱柱可知：∠DCF为直角，所以tan∠CDF=

FC

CD

=

2a

a

=2…（10分）
（Ⅲ）解：当AE=2a时，BE∥平面ADF，
证明如下：连结EF、EC交AF于点M，
由AE=2a=CF，及AE∥CF可得：四边形ACFE为平行四边形．
所以M为EC中点，
又D是BC的中点，
所以BE∥DM，…（13分）
又BE?平面ADF，DM?平面ADF
所以BE∥平面ADF，命题得证．                                …（14分）

点评：本题考查线面平行、线面垂直，考查面面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．