Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线为l：3x-y=0，若x=

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3

时，y=f（x）有极值．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据条件得到切点坐标，以及f′（1）=3，f（1）=3，f′（

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）=0，联立方程组，即可求y=f（x）的解析式；
（2）根据函数最值和导数之间的关系，利用列表法，即可求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

解答： 解：（1）由题意可知切点坐标为（1，3），
f′（1）=3，即3+2a+b=3且f（1）=3，即1+a+b+c=3，
∵x=

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时，y=f（x）有极值．
∴f′（

2

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）=0，即

4

3

+

4

3

a+b=0，
解得a=2，b=-4，c=4，即f（x）=x³+2x²-4x+4．
（2）由（1）知f′（x）=3x²+4x-4，令f′（x）=3x²+4x-4=0．解得x=-2或x=

2

3

．

x	（-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3 ．	（ 2 3 ，1）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以f（x）在x=-2处取得极大值f（-2）=12
在x=

2

3

．处取得极小值f（

2

3

）=

68

27

，
又∵f（-3）=-27+18+12+4=7，f（1）=1+2-4+4=3，
综上所述f（x）_max=12，f（x）_min=f（

2

3

）=

68

27

．

点评：本题主要考查函数解析式的求解，以及利用导数求闭区间上函数的最值，利用列表法是解决本题的关键常用方法．