Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=BC，则直线PC与AB所成角的大小是

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间角

分析：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接AG，由三角形中位线定理可得∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．然后在Rt△AEG中算出EG的长，用中位线定理得到EF=FG=

2

，最后在△EFG中用余弦定理算出∠EFG=120°，即得异面直线AB与PC所成角的大小．

解答： 解：取PA中点E，PB中点F，BC中点G，连接EF，FG，EG，
∵EF、FG分别是△PAB、△PBC的中位线
∴EF∥AB，FG∥PC，
因此，∠EFG（或其补角）就是异面直线AB与PC所成的角．
连接AG，则Rt△AEG中，AG=

AC2+CG2

=

5

，
EG=

EA2+AG2

=

6

，
又∵AB=PC=2

2

，∴EF=FG=

2

．
由此可得，在△EFG中，cos∠EFG=

EF2+FG2-EG2

2EF•FG

=-

1

2

结合∠EFG是三角形内角，可得∠EFG=120°．
综上所述，可得异面直线AB与PC所成角的大小为60°．
故答案为：60°．

点评：本题给出一条侧棱垂直于底面的三棱锥，求异面直线所成角，着重考查了异面直线及其所成的角及其求法等知识，属于基础题．