Question

对于函数f（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[λm，λn]，则称f（x）为“λ倍函数”．
（Ⅰ）若函数f（x）=x³为“1倍函数”，求符合条件的区间[m，n]．
（Ⅱ）若函数f（x）=k+

x+2

为“1倍函数”，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（I）函数f（x）=x³为“1倍函数”，则存在区间[m，n]，使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，进而根据方程x³=x有三个解：-1，0，1，得到符合条件的区间[m，n]．
（Ⅱ）若函数f（x）=k+

x+2

为“1倍函数”，则存在区间[m，n]，使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，即方程x=k+

x+2

在区间[-2，+∞）上有两个不同的解；也即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不等根，由此构造关于k的不等式组，解不等式组得到实数k的取值范围．

解答： 解：（I）函数f（x）=x³为“1倍函数”，
则存在区间[m，n]，使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，
又∵函数f（x）=x³为增函数，
故

m＜n m3=m n3=n

，
由方程x³=x有三个解：-1，0，1，
故符合条件的区间可以为：[-1，0]，[-1，1]，[0，1]．
（II）若函数f（x）=k+

x+2

为“1倍函数”，
则存在区间[m，n]，使得f（x）在区间[m，n]上的值域为[m，n]，
又∵f（x）=k+

x+2

在区间[-2，+∞）上为增函数，
故

2≤m＜n k+ m+2 =m k+ n+2 =n

．
即方程x=k+

x+2

在区间[-2，+∞）上有两个不同的解；
也即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0有两个都不小于k的不等根，
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²-2，
则

△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0 f(k)=k2-(2k+1)k+k2-2≥0 2k+1 2 ＞k

，
解得x∈（-

9

4

，-2]，
故实数k的取值范围为：（-

9

4

，-2]

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，函数的单调性，方程根的个数，是函数与方程的综合应用，难度较大．