Question

设矩阵M=

.

a 0 0 b

.

（其中a＞0，b＞0）
（1）若a=2，b=3．求矩阵M的逆矩阵M^-1；
（2）若曲线C：x²+y²=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：

x2

4

+y²=1，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）设矩阵M的逆矩阵M-1=

x1 y1 x2 y2

，则MM-1=

1 0 0 1

，建立方程组，即可求得所求的逆矩阵；
（2）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P′（x′，y′），可得

ax=x′ by=y′

，利用点P′（x′，y′）在曲线C′上，可得曲线C的方程，根据已知曲线C的方程，比较系数可得结论；

解答：解：（1）设矩阵M的逆矩阵M-1=

x1 y1 x2 y2

，则MM-1=

1 0 0 1

，
又M=

2 0 0 3

，
所以

2 0 0 3

 

x1 y1 x2 y2

=

1 0 0 1

，
所以2x₁=1，2y₁=0，3x₂=0，3y₂=1，
即x1=

1

2

，y₁=0，x₂=0，y2=

1

3

，
故所求的逆矩阵M^-1=

1 2 0 0 1 3

．
（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（x，y），它在矩阵M所对应的线性交换作用下得到点P′（x′，y′），
则

a 0 0 b

 

x   y

=

x′   y′

，即

ax=x′ by=y′

，
又点P′（x′，y′）在曲线C′上，所以

(x′)2

4

+(y′)2=1，
则

a2x2

4

+b2y2=1为曲线C的方程，
又已知曲线C的方程为x²+y²=1，故

a2=4 b2=1

，
又a＞0，b＞0，所以

a=2 b=1

．

点评：本题考查矩阵变换的应用，考查逆矩阵的求法．解题时要认真审题，仔细解答．