Question

【题目】选修4﹣4：坐标系与参数方程 曲线C1的参数方程为 （α为参数），在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ．
（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；
（2）若射线l：y=kx（x≥0）与曲线C1 ， C2的交点分别为A，B（A，B异于原点），当斜率k∈（1， ]时，求|OA||OB|的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲线C1的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0，

∴曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．

∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ=sinθ，即ρ2cos2θ=ρsinθ，

∴曲线C2的直角坐标方程为x2=y

（2）解：设射线l的倾斜角为α，

则射线l的参数方程为 （t为参数， ）．

把射线l的参数方程代入曲线C1的普通方程得：t2﹣2tcosα=0，

解得t1=0，t2=2cosα．

∴|OA|=|t2|=2cosα．

把射线l的参数方程代入曲线C2的普通方程得：cos2αt2=tsinα，

解得t1=0，t2= ．

∴|OB|=|t2|= ．

∴|OA||OB|=2cosα =2tanα=2k．

∵k∈（1， ]，∴2k∈（2，2 ]．

∴|OA||OB|的取值范围是（2，2 ]

【解析】（1）先将C1的参数方程化为普通方程，再华为极坐标方程，将C2的极坐标方程两边同乘ρ，根据极坐标与直角坐标的对应关系得出C2的直角坐标方程；（2）求出l的参数方程，分别代入C1 ， C2的普通方程，根据参数的几何意义得出|OA|，|OB|，得到|OA||OB|关于k的函数，根据k的范围得出答案．