Question

【题目】如图，在中,已知，在上，且，又平面.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】分析：（Ⅰ）设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，可得DA⊥AO．利用勾股定理的逆定理可得：PD⊥DO．由OC=OB=2，∠ABC=45°，可得CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，可得PO⊥OC，得到CO⊥平面PAB．得到CO⊥PD．即可证明．

（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB=1，利用线面垂直的性质、向量垂直与数量积的关系得出两个平面的法向量，求出其夹角即可．

详解：（Ⅰ）证明：设OA=1，则PO=OB=2，DA=1，

由DA∥PO，PO⊥平面ABC，知DA⊥平面ABC，

∴DA⊥AO．从而，

在△PDO中，∵PO=2，

∴△PDO为直角三角形，故PD⊥DO．

又∵OC=OB=2，∠ABC=45°，

∴CO⊥AB，又PO⊥平面ABC，

∴PO⊥OC，

又PO，AB平面PAB，PO∩AB=O，

∴CO⊥平面PAB．

故CO⊥PD．

∵CO∩DO=O，

∴PD⊥平面COD．

（Ⅱ）解：以OC，OB，OP所在射线分别为x，y，z轴，建立直角坐标系如图．

则由（Ⅰ）知，C（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），D（0，﹣1，1），

∴，

由（Ⅰ）知PD⊥平面COD，∴是平面DCO的一个法向量，

设平面BDC的法向量为，∴，∴，

令y=1，则x=1，z=3，∴，

∴，

由图可知：二面角B﹣DC﹣O为锐角，二面角B﹣DC﹣O的余弦值为．