Question

【题目】已知函数f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（3）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=loga（x+1）﹣loga（1﹣x），则 解得﹣1＜x＜1．

故所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}

（2）解：f（x）为奇函数

由（1）知f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}，

且f（﹣x）=loga（﹣x+1）﹣loga（1+x）=﹣[loga（x+1）﹣loga（1﹣x）]=﹣f（x），

故f（x）为奇函数

（3）解：因为当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，

所以 ．

解得0＜x＜1．

所以使f（x）＞0的x的取值范围是{x|0＜x＜1}

【解析】（1）根据对数的性质可知真数大于零，进而确定x的范围，求得函数的定义域．（2）利用函数解析式可求得f（﹣x）=﹣f（x），进而判断出函数为奇函数．（3）根据当a＞1时，f（x）在定义域{x|﹣1＜x＜1}内是增函数，可推断出f（x）＞0，进而可知 进而求得x的范围．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用函数的奇偶性和对数的运算性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；①加法：②减法：③数乘：④⑤．