Question

【题目】已知函数(a为常数)的图象与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为

(1)求的值及函数的极值；

(2)证明：当时，

Answer 1

【答案】（1）当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝2－ln4，f(x)无极大值．（2）见解析

【解析】试题分析：（1）首先求点的坐标，再根据，解得的值，然后求的值，以及两侧的单调性，根据单调性求得函数的极值；（2）设函数 ，根据（1）的结果可知函数单调递增，即证.

试题解析：　(1)由f(x)＝ex－ax，得f′(x)＝ex－a. 又f′(0)＝1－a＝－1，得a＝2.

所以f(x)＝ex－2x，f′(x)＝ex－2. 令f′(x)＝0，得x＝ln2.

当x<ln2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>ln2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．

所以当x＝ln2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＝2－ln4，f(x)无极大值．

(2)令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x. 由(1)得g′(x)＝f(x)≥f(ln2)>0，

故g(x)在R上单调递增，又g(0)＝1>0，因此，当x>0时，g(x)>g(0)>0，即x2<ex.