Question

【题目】在数列{an}中，已知a1=2，an+1=3an+2n﹣1．
（1）求证：数列{an+n}为等比数列；
（2）记bn=an+（1﹣λ）n，且数列{bn}的前n项和为Tn ， 若T3为数列{Tn}中的最小项，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an+1=3an+2n﹣1，

∴an+1+n+1=3（an+n）．

又a1=2，

∴an＞0，an+n＞0，

故 ，

∴{an+n}是以3为首项，公比为3的等比数列

（2）由（1）知道 ，bn=an+（1﹣λ）n，

∴ ．

∴ ．

若T3为数列{Tn}中的最小项，则对n∈N*有 恒成立，

即3n+1﹣81≥（n2+n﹣12）λ对n∈N*恒成立

1°当n=1时，有 ；

2°当n=2时，有T2≥T3λ≥9；

3°当n≥4时，n2+n﹣12=（n+4）（n﹣3）＞0恒成立，

∴ 对n≥4恒成立．

令 ，则 对n≥4恒成立，

∴ 在n≥4时为单调递增数列．

∴λ≤f（4），即 ．

综上，

【解析】（1）由an+1=3an+2n﹣1，整理得：an+1+n+1=3（an+n）．由an+n＞0， ，可知{an+n}是以3为首项，公比为3的等比数列；（2）由（1）求得数列{bn}通项公式及前n项和为Tn ， 由T3为数列{Tn}中的最小项，则对n∈N*有 恒成立，分类分别求得当n=1时和当n=2λ的取值范围， 当n≥4时， ，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得λ的取值范围．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．