【题目】已知平面五边形是轴对称图形(如图1),BC为对称轴,AD⊥CD,AD=AB=1,
,将此五边形沿BC折叠,使平面ABCD⊥平面BCEF,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.
(1)证明:AF∥平面DEC;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析,(2)
【解析】
试题分析:(1)作 交
于点
,连接
.由已知条件得
.所以
面
.同理:
面
.由此能证明
平面AFB. (2)过G作GH⊥AD于点H,连接HE.由(1)知EG⊥BC,又平面ABCD⊥平面BCEF,平面ABCD∩平面BCEF=BC,所以EG⊥平面ABCD,所以EG⊥AD.可得AD⊥平面EHG,则AD⊥HE,则∠EHG即为二面角
的平面角. 在
中,即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:
(1)如图,过D作DG⊥BC于点G,连接GE,
因为BC为对称轴,所以AB⊥BC,则有AB∥DG,又AB平面ABF,
所以DG∥平面ABF,同理EG∥平面ABF.又DG∩EG=G,所以平面DGE∥平面ABF.
又平面AFED∩平面ABF=AF,平面AFED∩平面DGE=DE,所以AF∥DE,
又DE平面DEC,所以AF∥平面DEC.
(2)如图,过G作GH⊥AD于点H,连接HE.由(1)知EG⊥BC,又平面ABCD⊥平面BCEF,平面ABCD∩平面BCEF=BC,所以EG⊥平面ABCD,所以EG⊥AD.
又EG∩HG=G,所以AD⊥平面EHG,则AD⊥HE,
则∠EHG即为二面角的平面角.
由AD⊥CD,AD=AB=1,,得G为BC的中点,
,
,
.
因为为直角三角形,所以
,
则二面角的余弦值为
.
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【题目】学校为测评班级学生对任课教师的满意度,采用“100分制”打分的方式来计分,规定满意度不低于98分,则评价该教师为“优秀”,现从某班学生中随机抽取10名,以下茎叶图记录了他们对某教师的满意度分数(以十位数字为茎,个位数字为叶);
(1)指出这组数据的众数和中位数;
(2)求从这10人中随机选取3人,至多有1人评价该教师是“优秀”的概率;
(3)以这10人的样本数据来估计整个班级的总体数据,若从该班任选3人,记表示抽到评价该教师为“优秀”的人数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】已知关于的方程为
.
(Ⅰ)若,
,求方程有实数根的概率.
(Ⅱ)若,
,求方程有实数根的概率.
(Ⅲ)在区间上任取两个数
和
,利用随机数模拟的方法近似计算关于
的方程
有实数根的概率,请写出你的试验方法.
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【题目】甲、乙两位同学学生参加数学竞赛培训,在培训期间他们参加5项预赛,成绩如下:
甲:78 76 74 90 82
乙:90 70 75 85 80
(Ⅰ)用茎叶图表示这两组数据;
(Ⅱ)现要从中选派一人参加数学竞赛,从平均数、方差的角度考虑,你认为选派哪位学生参加合适?说明理由.
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【题目】如图,分别过椭圆左、右焦点
的动直线
相交于
点,与椭圆
分别交于
与
不同四点,直线
的斜率
满足
, 已知
与
轴重合时,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在定点使得
为定值,若存在,求出
点坐标并求出此定值,若不存在,
说明理由.
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【题目】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量(升)关于行驶速度
(千米/小时)的函数解析式可以表示为:
.已知甲、乙两地相距100千米.
(Ⅰ)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
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【题目】已知关于某设备的使用年限与所支出的维修费用
(万元),有如下统计资料:
设对
呈线性相关关系,试求:
(1)线性回归方程的回归系数
;
(2)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
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