【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x+alnx(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有两个极值点x1 , x2(x1<x2),且不等式f(x1)≥mx2恒成立,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)解:f′(x)=2x﹣2+ =
(x>0),
令f'(x)=0,得2x2﹣2x+a=0,
①当△=4﹣8a≤0,即a≥ 时,f'(x)≥0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
②当△=4﹣8a>0即a< 时,由2x2﹣2x+a=0,得x=
,
由f'(x)>0,得0<x< 或x>
,
由f'(x)<0,得 <x<
,
a≤0时, ≤0,f(x)在(0,
)递减,在(
,+∞)递增,
0<a< 时,得
>0,
f(x)在(0, )递减,在(
,
)递增,
在( ,+∞)递减;
综上,当a≥ 时,f(x)的单调递增区间是(0,+∞);
当0<a< 时,f(x)的单调递增区间是(0,
),(
,+∞),
单调递减区间是( ,
);
a≤0时,f(x)在(0, )递减,在(
,+∞)递增
(2)解:函数f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,
由(1)可得0<a< ,
由f'(x)=0,得2x2﹣2x+a=0,则x1+x2=1,x1= ,x2=
,
由0<a< ,可得0<x1<
,
<x2<1,
=1﹣x1+
+2x1lnx1,
令h(x)=1﹣x+ +2xlnx,(0<x<
),h′(x)=﹣1﹣
+2lnx,
由0<x< ,则﹣1<x﹣1<﹣
,
<(x﹣1)2<1,﹣4<﹣
<﹣1,
又2lnx<0,则h′(x)<0,即h(x)在(0, )递减,
即有h(x)>h( )=﹣
﹣ln2,即
>﹣
﹣ln2,
即有实数m的取值范围为(﹣∞,﹣ ﹣ln2]
【解析】(1)求出f(x)的导数,令f'(x)=0,得2x2﹣2x+a=0,对判别式讨论,即当a≥ 时,当0<a≤
时,a≤0时,令导数大于0,得增区间,令导数小于0,得减区间;(2)函数f(x)在(0,+∞)上有两个极值点,由(Ⅱ)可得0<a<
,不等式f(x1)≥mx2恒成立即为
≥m,求得
=1﹣x1+
+2x1lnx1 , 令h(x)=1﹣x+
+2xlnx(0<x<
),求出导数,判断单调性,即可得到h(x)的范围,即可求得m的范围.
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数,需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果
,那么函数
在这个区间单调递增;(2)如果
,那么函数
在这个区间单调递减;求函数
的极值的方法是:(1)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极大值(2)如果在
附近的左侧
,右侧
,那么
是极小值才能得出正确答案.
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【题目】已知函数(
为自然对数的底数,
),在
处的切线为
.
(1)求函数的解析式;
(2)在轴上是否存在一点
,使得过
点可以作
的三条切钱?若存在,请求出横坐标为整数的
点坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣ |+|x+
|,M为不等式f(x)<2的解集. (Ⅰ)求M;
(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.
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【题目】2008年5月12日14时28分04秒,四川省阿坝藏族羌族自治州汶川县发生里氏8.0级地震,地震造成69227人遇难,374643人受伤,17923人失踪.重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动.其中重庆三峡中心医院外科派出由5名骨干医生组成的救援小组,奔赴受灾第一线参与救援.现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的汶川县、北川县、绵竹三县中的某一个.
(1)求每个县至少分配到一名医生的概率.
(2)若将随机分配到汶川县的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列,期望和方差.
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【题目】已知函数是奇函数.
求实数m,n的值;
若函数
的定义域为
判断函数
的单调性,并用定义证明;
是否存在实数t,使得关于x的不等式
在
上有解?若存在,求出t的取值范围;若不存在,说明理由.
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【题目】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
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