Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣ |+|x+ |，M为不等式f（x）＜2的解集． （Ⅰ）求M；
（Ⅱ）证明：当a，b∈M时，|a+b|＜|1+ab|．

Answer 1

【答案】解：（I）当x＜﹣ 时，不等式f（x）＜2可化为： ﹣x﹣x﹣ ＜2， 解得：x＞﹣1，
∴﹣1＜x＜﹣ ，
当﹣ ≤x≤ 时，不等式f（x）＜2可化为： ﹣x+x+ =1＜2，
此时不等式恒成立，
∴﹣ ≤x≤ ，
当x＞ 时，不等式f（x）＜2可化为：﹣ +x+x+ ＜2，
解得：x＜1，
∴ ＜x＜1，
综上可得：M=（﹣1，1）；
证明：（Ⅱ）当a，b∈M时，
（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，
即a2b2+1＞a2+b2 ，
即a2b2+1+2ab＞a2+b2+2ab，
即（ab+1）2＞（a+b）2 ，
即|a+b|＜|1+ab|
【解析】（I）分当x＜﹣ 时，当﹣ ≤x≤ 时，当x＞ 时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（Ⅱ）当a，b∈M时，（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，即a2b2+1＞a2+b2 ， 配方后，可证得结论．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．