【题目】已知函数,其中
.
(1)当时,求
的最小值;
(2)若有三个不同的单调区间,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)求出导数,然后根据函数的单调性可求出最值.(2)由题意得,当
时,
在
上单调递增,不合题意.当
时,得
,然后讨论此最大值与零的关系,可得当
0,即
时满足条件,从而得所求.
详解:(1)当时,
,
,
所以,
故当时,
单调递减,当
时,
单调递增.
所以.
故当时,
的最小值为
.
(2)由题意得,
①当时,
在
上单调递增,
所以在
上至多有两个单调区间,不合题意
②当时,
令,
则,
所以在
上单调递增,在
单调递减,
所以,
(ⅰ)若,
恒成立,
所以在
上单调递减,
故只有一个单调区间,不合题意.
(ⅱ)若,则
,
所以存在,
使得
且
,
且在
上单调递减,在
上单调递增,在
上单调递减,
所以有三个不同的单调区间,满足题意.
综上可得.
所以实数的取值范围为
.
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【题目】2008年5月12日14时28分04秒,四川省阿坝藏族羌族自治州汶川县发生里氏8.0级地震,地震造成69227人遇难,374643人受伤,17923人失踪.重庆众多医务工作者和志愿者加入了抗灾救援行动.其中重庆三峡中心医院外科派出由5名骨干医生组成的救援小组,奔赴受灾第一线参与救援.现将这5名医生分别随机分配到受灾最严重的汶川县、北川县、绵竹三县中的某一个.
(1)求每个县至少分配到一名医生的概率.
(2)若将随机分配到汶川县的人数记为ξ,求随机变量ξ的分布列,期望和方差.
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【题目】将编号的小球放入编号为
的盒子中,要求不允许有空盒子,且球与盒子的号不能相同,则不同的放球方法有( )
A. 16种 B. 12种 C. 9种 D. 6种
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数有( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
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【题目】某公司试销一种成本单价为500元的新产品,规定试销时销售单价不低于成本单价,又不高于800元.经试销调查,发现销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),函数图象如图所示.
(1)根据图象,求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式;
(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元.试问销售单价定为多少时,该公司可获得最大毛利润?最大毛利润是多少?此时的销售量是多少?
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【题目】已知函数f(x)=loga(x+1)﹣loga(1﹣x),a>0且a≠1.
(1)求f(x)的定义域;
(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;
(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.
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【题目】已知函数是定义在R上的奇函数,当
时,
.
(Ⅰ)求函数在R上的解析式;
(Ⅱ)若,函数
,是否存在实数m使得
的最小值为
,若存在,求m的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求
的分布列和数学期望.
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【题目】学校举办的集体活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得1分、2分、3分的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择得到相应的分数,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部分数都归零,游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为,
,
,选手选择继续闯关的概率均为
,且各关之间闯关成功互不影响
(I)求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率
(II)设该学生所得总分数为X,求X的分布列与数学期望
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