Question

（2011•广东三模）已知函数f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（2）在给定的坐标系内，用五点作图法画出函数f（x）在一个周期内的图象．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角差的正弦公式将函数化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式求其最小正周期，利用函数图象和性质求其最大值
（2）先将内层函数ωx+φ看作整体，取正弦函数的五个关键点横坐标值，列出函数取值表，再依表描点，用平滑的曲线将其连接即可得函数f（x）在一个周期内的图象

解答：解：（1）∵f（x）=2sinx（sinx+cosx）-1=2sin²x+2sinxcosx-1=sin2x-cos2x=

2

（sin2xcos

π

4

-sin

π

4

cosx）
=

2

sin(2x-

π

4

)，
∴f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
当2x-

π

4

=2kπ+

π

2

 （k∈Z）时，f（x）取得最大值为

2

．
∴函数f（x）的最小正周期为π；最大值为

2

（2）列表：

函数f（x）在一个周期内的图象如图：

点评：本题考察了将三角函数式通过三角变换公式化为y=Asin（ωx+φ）的形式的技巧，三角函数的图象和性质，五点法作y=Asin（ωx+φ）型函数图象的步骤