Question

17．若点O和点F分别为双曲线$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围为[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 求得双曲线的焦点F，设出点P，代入双曲线方程求得纵坐标的表达式，根据P，F，O的坐标表示$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$，进而利用二次函数的性质求得其最小值，则可得$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围．

解答 解：设P（m，n），由F（-2，0），O（0，0），
则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$=（m，n）•（m+2，n）=m²+2m+n²．
由点P为双曲线右支上的任意一点，
可得$\frac{{m}^{2}}{3}$-n²=1（m≥$\sqrt{3}$），
即n²=$\frac{{m}^{2}}{3}$-1，
则m²+2m+n²=m²+2m+$\frac{{m}^{2}}{3}$-1=$\frac{4}{3}$m²+2m-1=$\frac{4}{3}$（m+$\frac{3}{4}$）²-$\frac{7}{4}$，
由m≥$\sqrt{3}$＞-$\frac{3}{4}$，
可得函数在[$\sqrt{3}$，+∞）上单调递增，
即有m²+2m+n²≥3+2$\sqrt{3}$，
则$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{FP}$的取值范围为[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．
故答案为：[3+2$\sqrt{3}$，+∞）．

点评 本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力．