Question

已知

OA

=（1，2，3），

OB

=（2，1，2），

OP

=（1，1，2），点Q在直线OP上运动，则当

QA

•

QB

取得最小值时，点Q的坐标为（　　）

• A、(

  1

  2

  ，

  3

  4

  ，

  1

  3

  )
• B、(

  1

  2

  ，

  3

  2

  ，

  3

  4

  )
• C、(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  8

  3

  )
• D、(

  4

  3

  ，

  4

  3

  ，

  7

  3

  )

Answer 1

分析：可先设Q（x，y，z），由点Q在直线OP上可得Q（λ，λ，2λ），则由向量的数量积的坐标表示可得

QA

•

QB

=2（3λ²-8λ+5），根据二次函数的性质可求，取得最小值时的λ，进而可求Q

解答：解：设Q（x，y，z）
由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得

OQ

=λ

OP

，则有Q（λ，λ，2λ）

QA

=(1-λ，2-λ，3-2λ)，

QB

=(2-λ，1-λ，2-2λ)
当

QA

•

QB

=（1-λ）（2-λ）+（2-λ）（1-λ）+（3-2λ）（2-2λ）=2（3λ²-8λ+5）
根据二次函数的性质可得当λ=

4

3

时，取得最小值-

2

3

此时Q (

4

3

，

4

3

，

8

3

)
故选：C

点评：本题主要考查了平面向量的共线定理的应用，解题的关键是由点Q在直线OP上可得存在实数λ使得

OQ

=λ

OP

，进而有Q（λ，λ，2λ），然后转化为关于λ的二次函数，根据二次函数知识求解最值，体现了转化思想在解题中的应用．