Question

函数y=

1

1-x

与函数y=2sinπx，x∈[-2，4]的图象的所有交点的横坐标之和=

8

．

Answer 1

分析：y₁=

1

1-x

的图象由奇函数y=-

1

x

向右平移1个单位而得，所以它的图象关于点（1，0）中心对称，再由正弦函数的对称中心公式，可得函数y₂=2sinπx的图象的一个对称中心也是点（1，0），故交点个数为偶数，且每一对对称点的横坐标之和为2．由此不难得到正确答案．

解答：解：函数y₁=

1

1-x

，y₂=2sinπx的图象有公共的对称中心（1，0），作出两个函数的图象如图
当1＜x≤4时，y₁＜0
而函数y₂在（1，4）上出现1.5个周期的图象，
在（1，

3

2

）和（

5

2

，

7

2

）上是减函数；
在（

3

2

，

5

2

）和（

7

2

，4上是增函数．
∴函数y₁在（1，4）上函数值为负数，且与y₂的图象有四个交点E、F、G、H
相应地，y₁在（-2，1）上函数值为正数，且与y₂的图象有四个交点A、B、C、D
且：x_A+x_H=x_B+x_G═x_C+x_F=x_D+x_E=2，故所求的横坐标之和为8
故答案为：8

点评：发现两个图象公共的对称中心是解决本题的入口，讨论函数y₂=2sinπx的单调性找出区间（1，4）上的交点个数是本题的难点所在．