Question

【题目】已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线交于A，B两点，又过A，B两点分作抛物线的切线，两条切线交于P点．记直线PA、PB的斜率分别为和．

（1）求的值；

（2），，求四边形PAEG面积的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）设的方程为，根据点在抛物线上，解得，得到抛物线的方程，联立，得，设直线PA，PB的斜率分别为，，利用导数的几何意义可得，，然后利用韦达定理求解.

（2）由（1）可得直线PA的方程为，直线PB的方程为，两式联立得到点P的坐标，然后再求弦长及点P到直线AB的距离，得到，用导数法求得求最小值，再根据，，得到ABGE是平行四边形，由求解.

（1）由题意设的方程为，

因为点在抛物线上，

∴，

∴抛物线的方程为．

联立，得．

，

设，则．

设直线PA，PB的斜率分别为，，

对求导得，

∴，，

∴.

（2）如图所示：

由（1）可得直线PA的方程为①

直线PB的方程为，②

联立①②，得点P的坐标为，

由（1）得，，

∴，

于是，

点P到直线AB的距离，

∴，

，

当时，，当时，，

所以时，的面积取得最小值．

又，，

∴，且

所以ABGE是平行四边形，

所以．