Question

【题目】已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左右焦点，点为椭圆上的一动点，面积的最大值为2.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆的另一个交点为，点，证明：直线与直线关于轴对称.

Answer 1

【答案】（1）.（2）证明见解析

【解析】

（1）根据离心率和面积的最大值为2，即可列出方程，即可求得结果；

（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，只需求证，则问题得证.

（1）因为椭圆的离心率为，

所以，即，又，所以，

因为面积的最大值为2，所以，即，

又因为，所以，，

故椭圆的方程为

（2）由（1）得，

当直线的斜率为时，符合题意，

当直线的斜率不为时，

设直线的方程为，代入消去整理得：

，易得

设，则，

记直线的斜率分别为，则

所以，因此直线与直线关于轴对称.