[题目]如图两个同心球.球心均为点.其中大球与小球的表面积之比为3:1.线段与是夹在两个球体之间的内弦.其中两点在小球上.两点在大球上.两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时.此时异面直线与的夹角为.则( )A.B.C.D. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中两点在小球上，两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的夹角为，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】

首先判断出正方体内切球和外接球的半径比为，内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例.判断当四面体体积最大时，的位置关系，作出异面直线所成的角，解直角三角形求得.

设正方体的边长为，则其内切球半径为，外接球的半径为，所以内切球和外接球的表面积之比为，符合题意中的小球和大球的比例. 依题意最长为，最长为小球的直径.由于三角形的面积，若为定值，则时面积取得最大值.画出图像如下图所示，其中分别是所在正方形的中心，是正方体内切球与外接球的球心..由于，故此时四面体的体积最大.

由于，所以四边形为平行四边形，所以，所以是异面直线和所成的角.所以由于，设是的中点，则，所以，所以.

故选：A

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