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    【题目】如图，椭圆：的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行轴时，直线被椭圆截得的线段长为4.

    （1）求椭圆的方程；

    （2）设为坐标原点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

    【答案】（1）（2）存在；

    【解析】

    （1）由椭圆的离心率为，过点的动直线与椭圆相交于，两点，列出方程组求出，由此能求出椭圆的方程；

    （2）当直线的斜率存在时，设直线为，与椭圆联立得，

    ，由此利用根的判别式，韦达定理，向量的数量积，结合已知条件推出为定值，当直线的斜率不存在时，

    ,从而得到答案.

    （1）解：由题设知，，，

    设椭圆方程为，令，得，∴，

    解得，所以椭圆的方程为.

    （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，的坐标分别为，，联立得，

    其判别式，所以，.

    从而

    ，

    所以，当，即时，.

    此时，为定值.

    当直线斜率不存在时，此时，，

    ∴.

    故存在常数，使得为定值.

    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】统计学中，经常用环比、同比来进行数据比较，环比是指本期统计数据与上期比较，如年月与年月相比，同比是指本期数据与历史同时期比较，如年月与年月相比.

    环比增长率（本期数上期数）上期数，

    同比增长率（本期数同期数）同期数.

    下表是某地区近个月来的消费者信心指数的统计数据：

    序号

    时间

    年月

    年月

    年月

    年月

    年月

    年月

    年月

    年月

    消费者信心指数

    2017年

    月

    年

    月

    年

    月

    年

    月

    年

    月

    年

    月

    年

    月

    年

    月

    年

    月

    求该地区年月消费者信心指数的同比增长率（百分比形式下保留整数）；

    除年月以外，该地区消费者信心指数月环比增长率为负数的有几个月？

    由以上数据可判断，序号与该地区消费者信心指数具有线性相关关系，写出关于的线性回归方程（，保留位小数），并依此预测该地区年月的消费者信心指数（结果保留位小数，参考数据与公式：，，，，）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，一般情况下PM2.5的浓度越大，大气环境质量越差.右边的茎叶图表示的是成都市区甲乙两个监测站某10日内每天的PM2.5浓度读数(单位：)，则下列说法正确的是( )

    A.这10日内甲、乙监测站读数的极差相等

    B.这10日内甲、乙监测站读数的中位数中，乙的较大

    C.这10日内乙监测站读数的众数与中位数相等

    D.这10日内甲、乙监测站读数的平均数相等

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图两个同心球，球心均为点，其中大球与小球的表面积之比为3:1，线段与是夹在两个球体之间的内弦，其中两点在小球上，两点在大球上，两内弦均不穿过小球内部.当四面体的体积达到最大值时，此时异面直线与的夹角为，则（ ）

    A.B.C.D.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某种设备随着使用年限的增加，每年的维护费相应增加.现对一批该设备进行调查，得到这批设备自购入使用之日起，前5年平均每台设备每年的维护费用大致如表：

    年份（年）

    维护费（万元）

    已知.

    （I）求表格中的值；

    （II）从这年中随机抽取两年，求平均每台设备每年的维护费用至少有年多于万元的概率；

    （Ⅲ）求关于的线性回归方程；并据此预测第几年开始平均每台设备每年的维护费用超过万元.

    参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为推行“新课堂”教学法，某化学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验.为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表：记成绩不低于70分者为“成绩优良”.

    分数

    甲班频数

    5

    6

    4

    4

    1

    乙班频数

    1

    3

    6

    5

    5

    （1）由以上统计数据填写下面列联表，并判断能否在犯错概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？

    甲班

    乙班

    总计

    成绩优良

    成绩不优良

    总计

    附：，其中.

    临界值表

    0.10

    0.05

    0.025

    2.706

    3.841

    5.024

    （2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核.在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为，求的分布列及数学期望.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，是半圆的直径，，为圆周上一点，平面，，，，.

    （1）求证：平面平面；

    （2）在线段上是否存在点，且使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由.

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    【题目】已知双曲线：的右焦点到渐近线的距离为4，且在双曲线上到的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线的左焦点的距离为______.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．

    （1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由

    （2）已知函数，其中且，，．

    （ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；

    （ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．

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