Question

【题目】设函数，，其中a，.

（1）求的单调区间；

（2）若存在极值点，且，其中，求证：；

（3）设，函数，求证：在区间上的最大值不小于.

Answer 1

【答案】（1）的增区间为，，减区间为；（2）证明见解析；（3）见解析.

【解析】

（1）求出的导数，讨论时，在R上递增；当时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间；

（2）由条件判断出，且，由求出，分别代入解析式化简，，化简整理后可得证；

（3）设在区间上的最大值M，根据极值点与区间的关系对a分三种情况讨论，运用单调性和前两问的结论，求出在区间上的取值范围，利用a的范围化简整理后求出M，再利用不等式的性质证明结论成立.

（1）若，则，

分两种情况讨论：

①、当时，有恒成立，此时的单调递增区间为；

②、当时，令，解得或，

当或时，，为增函数，

当时，，为减函数，

故的增区间为，，减区间为；

（2）若存在极值点，则必有，且，

由题意可得，，则，

进而，

又，

由题意及（1）可得：存在唯一的实数，满足，其中，

则有，故有；

（3）设在区间上的最大值M，表示x、y两个数的最大值，

下面分三种情况讨论：

①当时，，

由（1）知在区间上单调递减，

所以在区间上的取值范围是，

因此

，所以。

②当时，，

由（1）、（2）知，，，

所以在区间上的取值范围是，

因此

，

③当时，，

由（1）、（2）知，，，

所以在区间上的取值范围是，

因此

，

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.