Question

已知不等式组

3x+4y-10≥0 x≤4 y≤3

表示区域D，过区域D中任意一点P作圆x²+y²=1的两条切线且切点分别为A、B，当∠APB最大时，cos∠APB=（　　）

• A、

  3

  2

• B、

  1

  2

• C、-

  3

  2

• D、-

  1

  2

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使∠APB最大，
则P到圆心的距离最小即可，
由图象可知当OP垂直直线3x+4y-10=0，
此时|OP|=

|-10|

32+42

=

10

5

=2，|OA|=1，
设∠APB=α，则∠APO=

α

2

，即sin

α

2

=

OA

OP

=

1

2

，
此时cosα=1-2sin²

α

2

=1-2×（

1

2

）²=1-

1

2

=

1

2

，
即cos∠APB=

1

2

．
故选：B

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．