Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知

sinA-sinB

sinC

=

b+c

a+b

．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求4sinB-cosC的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）由已知及正弦定理化简可得

a-b

c

=

b+c

a+b

，即b²+c²-a²b-bc，由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，即可求A．
（Ⅱ）化简可得：4sinB-cosC=2sin（2B-

π

3

）+

3

，由0＜B＜

π

3

，可得-

3

＜2sin（2B-

π

3

）＜

3

，即可解得4sinB-cosC的取值范围．

解答： （本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵

sinA-sinB

sinC

=

b+c

a+b

，∴

a-b

c

=

b+c

a+b

  …（2分）
即b²+c²-a²b-bc           …（4分）
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
∴A=

2π

3

              …（7分）
（Ⅱ）因为4sinB-cosC=4sinB-cos（

π

3

-B）=4sinB（

1

2

cosB+

3

2

sinB）    …（9分）
=2sin2B-

3

cos2B+

3

=2sin（2B-

π

3

）+

3

           …（11分）
∵0＜B＜

π

3

，∴-

π

3

＜2B-

π

3

＜

π

3

       …（12分）
∴-

3

＜2sin（2B-

π

3

）＜

3

，
∴0＜4sinB-cosC＜2

3

     …（14分）

点评：本题主要考查了三角函数的恒等变换，正弦定理，余弦定理的应用，属于中档题．