Question

设p：函数f(x)=

ax2-x+a

的定义域为R；q：不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

解答： 解：∵p：函数f(x)=

ax2-x+a

的定义域为R
∴若p为真，那么ax²-x+a≥0对于任意的x∈R成立
①当a=0，不成立
②当a＞0，△=1-4a²＜0，
∴a＞

1

2

③a＜0，那么ax²-x+a≥0对于任意的x∈R不能成立
∴若p为真，那么a＞

1

2

又∵q：不等式a^x＞1的解集是{x|x＜0}
∴若q为真，那么，0＜a＜1
∵p且q”为假命题，“p或q”为真命题
∴p、q一真一假
①p真q假，那么a的取值范围：[1，+∞）
②p假q真，那么a的取值范围：（0，

1

2

]
综上所述：a∈（0，

1

2

]∪[1，+∞）

点评：本题考查的知识点是复合命题的真假判定，属于基础题目