Question

17．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线过点（4，3），且双曲线的一个焦点在抛物线y²=20x的准线上，则双曲线的方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程求出c，然后根据双曲线的渐近线和点的关系，求出a，b即可得到结论．

解答 解：抛物线y²=20x的准线方程为x=-5，
∵双曲线的一个焦点在抛物线y²=20x的准线，
∴c=5，
双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
∵双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的一条渐近线过点（4，3），
∴（4，3）在直线y=$\frac{b}{a}$x上，
即4•$\frac{b}{a}$=3，即4b=3a，b=$\frac{3}{4}$a，
平方得b²=$\frac{9}{16}$a²=c²-a²=25-a²，
则$\frac{25}{16}$a²=25，
则a²=16，b²=25-16=9，
即双曲线的方程为$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$，
故答案为：$\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$．

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据条件建立方程关系求出a，b的值是解决本题的关键．