Question

2．已知抛物线x²=-4y的准线与双曲线$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线围成一个面积为1的三角形，则该双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\sqrt{5}$
• D． 5

Answer 1

分析 求出抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程，解方程可得交点坐标，根据三角形的面积公式，解方程可得a=b，由离心率公式即可得到所求．

解答 解：抛物线x²=-4y的准线方程为y=1，①
双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，②
由①②可得交点为A（-$\frac{a}{b}$，1），B（$\frac{a}{b}$，1），
则|AB|=$\frac{2a}{b}$，
则三角形的面积S=$\frac{1}{2}$×$\frac{2a}{b}$×1=1，
即a=b，
则c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{2}$a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查抛物线的准线方程和双曲线的渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．