Question

6．已知函数f（x）=-x²+2ax+1-a．
（1）若a=1，求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）在区间[0，1]上的最大值是2，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入结合二次函数的图象和性质，可得答案．
（2）先求对称轴，比较对称轴和区间的关系，利用开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大来解题．

解答 解：（1）若a=1，函数f（x）=-x²+2x，
函数图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，
故当x=1时，函数f（x）取最大值1，
（2）函数f（x）=-x²+2ax+1-a的图象是开口朝下，且以直线x=a为对称轴的抛物线，
当a＜0时，[0，1]是f（x）的递减区间，f（x）_max=f（0）=1-a=2，
∴a=-1；
当a＞1时，[0，1]是f（x）的递增区间，f（x）_max=f（1）=a=2，
∴a=2；
当0≤a≤1时，f（x）_max=f（a）=a²-a+1=2，
解得a=$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$（舍去），或a=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$（舍去），
所以a=-1或a=2．

点评 此题是个中档题．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题．关于不定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般是根据对称轴和闭区间的位置关系来进行分类讨论，如轴在区间左边，轴在区间右边，轴在区间中间，最后再综合归纳得出所需结论．